ĐỀ BÀI

Cho hình bình hành ABCD tâm O. M và N là các điểm sao cho $\overrightarrow{MA}+x\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0},\,\overrightarrow{NA}-x\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}\left( x\ne \pm 1 \right)$. Chứng minh ba điểm O, M, N thẳng hàng.

BÀI GIẢI

Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA}+x\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+x\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} \right)=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{x}{x+1}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{x}{x+1}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)+\frac{x}{x+1}\overrightarrow{AB}=\frac{x-1}{2\left( x+1 \right)}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\left( 1 \right)$

$\overrightarrow{NA}-x\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{NA}-x\left( \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AD} \right)=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\overrightarrow{AN}=x\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{x}{x-1}\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{x}{x-1}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)+\frac{x}{x-1}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{x+1}{2\left( x-1 \right)}\overrightarrow{b}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{OM}=-\frac{x-1}{x+1}\overrightarrow{ON}$$\Rightarrow $ Hai vectơ $\overrightarrow{OM},\,\,\overrightarrow{ON}$cùng phương.

Vậy: Ba điểm O, M, N thẳng hàng